高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽都考什么？附北京高聯(lián)一對一輔導(dǎo)培訓(xùn)！

　　很多人都想知道，數(shù)學(xué)競賽高聯(lián)到底考些什么。如果用比較官方的說法，那就是：高聯(lián)主要考察學(xué)生在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的創(chuàng)新能力、邏輯思維能力以及問題解決能力等多方面能力。但這種說法聽起來未免有些空泛，甚至顯得有些“套路化”，不夠具體，也很難讓人真正感受到高聯(lián)的考察重點(diǎn)。

　　那我們就來實(shí)際一點(diǎn)，直接看看高聯(lián)考試的考點(diǎn)范圍。

　　高聯(lián)一試考11道題(8道填空題+3道解答題)，試卷難題略微高于高考。一句話進(jìn)行總結(jié)：你可以把高聯(lián)一試?yán)斫獬勺罨A(chǔ)的數(shù)競?cè)腴T，也可以理解成更難的高考。其實(shí)說白了，這種難度的考試，它只是考察學(xué)生對于知識(shí)整理、歸納的一個(gè)過程。如果你系統(tǒng)性的學(xué)過數(shù)競，跟著教練刷了很多的題，那么高聯(lián)一試對你來說幾乎沒有難度，你唯一可能丟分的地方，也只有第8道填空題和最后一道解答題了，客觀來說，這兩道壓軸題，還是有一些強(qiáng)度的。有些二試考的還不錯(cuò)的同學(xué)，也有可能在這兩道題上丟分。 一試的難或許不在題目本身，而在于考試時(shí)間太短。想要在80分鐘需要做出11道題，平均7分鐘一道，對于絕大多數(shù)參賽選手而言，在時(shí)間上都具有很大壓力

　　

高聯(lián)一試主要考察內(nèi)容：“集合與函數(shù)”，主要注意一下函數(shù)最值問題，一般來說填空題會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)這一考點(diǎn);然后是“數(shù)列”“三角函數(shù)”，當(dāng)然這個(gè)也包括一些解三角形;再然后還可能會(huì)有“立體幾何”，“解析幾何”;此外，再就是“組合計(jì)數(shù)”，“復(fù)數(shù)”以及“向量”。

　　那么對于這些細(xì)小的知識(shí)板塊，我們在學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意哪些呢?

　　高聯(lián)一試·數(shù)列

　　數(shù)列其實(shí)一般來講呢，更多是研究一種遞推數(shù)學(xué)。一試階段，圍繞遞推的考察是比較多的，例如“通過遞推求通項(xiàng)”，這是數(shù)列很重要的一個(gè)板塊，比如說出題人給了你一個(gè)遞推數(shù)列，你要知道這個(gè)遞推數(shù)列，怎么去求通項(xiàng);當(dāng)然有的時(shí)候也需要我們判斷，如何去求通項(xiàng)，這種題型是很常見的。然后這個(gè)求通項(xiàng)的話呢，一般而言我們會(huì)有一些基礎(chǔ)的這種分析策略，比較常見的是用“數(shù)列代換”，不斷的去往這種簡單的數(shù)列上面去靠。除此之外呢，這種數(shù)列問題，我們也可以考慮使用“數(shù)學(xué)歸納法”，你只要能猜出來數(shù)列通項(xiàng)，基本上你是可以用數(shù)學(xué)歸納法去歸納這個(gè)通項(xiàng)的。不過也有例外，因?yàn)橛行┻f推數(shù)列，我們是不太能去求通項(xiàng)的，這種情況下，我們可以直接用數(shù)列去做一些性質(zhì)。這個(gè)時(shí)候我們往往是有兩種策略的：第一種，我們可以通過遞推關(guān)系去化簡表達(dá)式，說白了就是把這個(gè)遞推關(guān)系帶回去，帶到數(shù)列里面，看能不能把表達(dá)式做一點(diǎn)點(diǎn)整理，就比如說本來是一個(gè)“和式”，我?guī)б粋€(gè)替代關(guān)系出來，它說不定可以裂項(xiàng)，這樣就能變成一個(gè)比較簡單的式子;然后第二種策略，就是我們對這個(gè)遞推關(guān)系，做一定的估計(jì)，盡管直接求解求不出來，但是我們可以大概取用這種遞推關(guān)系去估一些“不等關(guān)系”或者“相等關(guān)系”。之后我們再用這個(gè)不等或相等的關(guān)系，再去做一些性質(zhì)。

　　高聯(lián)一試·三角函數(shù)

　　三角函數(shù)這個(gè)板塊最大的一個(gè)特點(diǎn)：就是它公式很多，繞來繞去的，很容易在解題的過程中把自己給繞進(jìn)去。所以在解三角函數(shù)題目的時(shí)候，我們第一個(gè)要注意的地方，是要熟悉這些公式。然后第二個(gè)要注意的，你在解題時(shí)要有對于三角函數(shù)變形的一個(gè)整體思路。

　　

 

　　可能有些同學(xué)在初學(xué)三角函數(shù)的時(shí)候會(huì)發(fā)現(xiàn)，很多時(shí)候三角函數(shù)的公式，做來做去都是一樣的。比如說，兩個(gè)數(shù)的乘積可以積化和差，和差之后，它是不是又可以和差化積?然后，和差化積以后你又可以積化和差。實(shí)際上你做來做去，都是在做一個(gè)東西，這樣子變形是沒有太多意義的。所以這個(gè)時(shí)候，我們更多要考慮這個(gè)三角函數(shù)內(nèi)部的代換，就是說你要考慮這個(gè)三角函數(shù)在一個(gè)變形過程中，函數(shù)里面的變量的變換情況。這個(gè)往往是高聯(lián)一試考察的一個(gè)重點(diǎn)。

　　高聯(lián)一試·立體幾何

　　立體幾何本身其實(shí)是很難的一個(gè)東西，因?yàn)楹芏嗵幚硎潜容^復(fù)雜的。不過幸運(yùn)的是在高聯(lián)一試的階段，如果出了立體幾何題，通常情況下不會(huì)特別難。一試階段，立體幾何的主要考查方向有兩個(gè)：第一個(gè)是包含一些立體幾何空間上的證明問題，這種題型最近幾年考的比較少了，而且也基本不會(huì)出解答題，難度不大;因此，立體幾何的第二個(gè)考察方向才是考生需要著重了解的，就是涉及空間量的一些計(jì)算。除此之外，對于立體幾何，還有一個(gè)分析策略，就是盡可能去把一個(gè)立體幾何平面問題，轉(zhuǎn)換成平面幾何，包括平時(shí)的期末考試、高考啊，去做這種立體幾何分析的時(shí)候呢，我們也可以考慮去借鑒平面幾何的分析策略：我們先假設(shè)把它當(dāng)作一個(gè)平面幾何，然后去找一些性質(zhì)，找到性質(zhì)后，我們再轉(zhuǎn)換到立體幾何里面。

　　

 

　　舉個(gè)小例子：一個(gè)圖形里面有一個(gè)內(nèi)切球，那我們可以先把它做到內(nèi)切圓，然后看有沒有內(nèi)切圓相關(guān)性質(zhì)，如果有的話，那我們能不能再結(jié)合到內(nèi)切球上面。其實(shí)說到底，數(shù)競比賽考的不只是題，同時(shí)出題人也在考察我們的思維，所以類似這樣的分析策略我們一定要熟練掌握。

　　高聯(lián)一試·解析幾何

　　在前面提到過，數(shù)競高聯(lián)一試由八道填空題和三道計(jì)算題構(gòu)成。一般來說，計(jì)算題部分會(huì)圍繞一些硬核知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行出題，例如解析幾何。解析幾何的關(guān)鍵點(diǎn)是什么呢?說白了，對于解析幾何，多數(shù)同學(xué)都是能算的。就是你一定要考慮如何才能算更快，這個(gè)才是做解析幾何題的一個(gè)重點(diǎn)。解析幾何很忌諱把問題算得復(fù)雜。而是應(yīng)該清楚什么東西該求，什么東西不該求。有些東西我們能不能簡單設(shè)出來，到后面再去消掉。“設(shè)而不求”是解決解析幾何問題較為基礎(chǔ)的技巧，也是解析幾何中一種出奇制勝的解題技巧，運(yùn)用得好可以達(dá)到四兩撥千斤的效果。比較典型的例子，當(dāng)我們在求解圓錐曲線的題目時(shí)，經(jīng)常需要將圓錐曲線與直線聯(lián)立方程，并運(yùn)用韋達(dá)定理算出“x1+x2”和“x1x2”，這實(shí)際上用的就是“設(shè)而不求”的方法。在近幾年的高聯(lián)考試中，“設(shè)而不求”的解題技巧也逐漸深入到導(dǎo)數(shù)的題目中，在求極值點(diǎn)的過程中往往求不出導(dǎo)函數(shù)等于0的方程的解，這時(shí)候我們經(jīng)常借助“設(shè)而不求”的方法虛設(shè)零點(diǎn)，并針對該零點(diǎn)進(jìn)行單調(diào)性的分析，將復(fù)雜的問題簡單化。“設(shè)而不求法”在課內(nèi)老師就應(yīng)該教過，學(xué)競賽的時(shí)候，各學(xué)校競賽教練大概率還會(huì)再講一遍，盡管如此，還是有很多同學(xué)掌握得不夠扎實(shí)，運(yùn)用起來更談不上熟練。如果臨近高聯(lián)之時(shí)，你對解析幾何知識(shí)模塊還是掌握得一般，屆時(shí)你可以重點(diǎn)練習(xí)一下這種解題方法(當(dāng)然，這也是沒辦法的辦法)。

　　高聯(lián)一試·導(dǎo)數(shù)/不等式

　　導(dǎo)數(shù)/不等式，在數(shù)競高聯(lián)一試是一個(gè)非常重要的考點(diǎn)，如果出現(xiàn)，往往是便以一道大題的形式出現(xiàn)(極小概率會(huì)出填空題)。

　　

 

　　在高聯(lián)一試的階段，導(dǎo)數(shù)考察的方向還是比較多的，比如可能和多項(xiàng)式函數(shù)建立起一定的關(guān)系，包括不等式也是，也可能和多項(xiàng)式函數(shù)建立起一些關(guān)系。不過在一試?yán)?，?dǎo)數(shù)也好，不等式也好，考察的方式會(huì)更偏向于技術(shù)性，或者說技巧性。就是說，對于某個(gè)式子，我們先要思考如何變形，之后再考慮如何求導(dǎo)。這種類型的題，算是高聯(lián)一試?yán)锩嫦鄬碚f比較難，但是也比較重要的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容。包括在強(qiáng)基考試?yán)?，這個(gè)東西也考了很多。例如零點(diǎn)問題、含參問題、最值問題。這些問題里面的很多操作，細(xì)節(jié)還是很多的，作為考生，我們一定要熟悉各種操作。舉一個(gè)典型的例子，就說e^s吧，這種量我們該怎么去處理，怎么樣能讓求導(dǎo)出的式子不是很復(fù)雜，作為數(shù)競生，這些技巧都是需要我們?nèi)フ莆盏摹?/p>

　　高聯(lián)一試·函數(shù)

　　函數(shù)不僅性質(zhì)多樣，什么單調(diào)性、奇偶性計(jì)算也比初中數(shù)學(xué)更加復(fù)雜，綜合性更強(qiáng)，而且更為關(guān)鍵的是，函數(shù)概念還很抽象。舉一個(gè)具體的例子，很多數(shù)競生在剛接觸到y(tǒng)=f(x)這種表達(dá)形式的時(shí)候，基本上腦子都是懵的。

　　在高中階段，函數(shù)是一個(gè)比較基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)，但又很關(guān)鍵，如果函數(shù)概念這一塊沒學(xué)透，那么后面的一次函數(shù)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、偶函數(shù)、奇函數(shù)等內(nèi)容，基本上也是學(xué)不會(huì)的。早些年，大概在2015—2019年期間，高聯(lián)一試對于函數(shù)的綜合考察是非常常見的，考點(diǎn)多集中在函數(shù)的基本性質(zhì)、冪指對函數(shù)、三角函數(shù)等。盡管最近兩年高聯(lián)對于函數(shù)的出題數(shù)量有所下滑，但競賽生仍無法忽視函數(shù)這一考點(diǎn)。

　　高聯(lián)二試呢

　　如果說，高聯(lián)一試，考生還能嘻嘻哈哈，那么到了二試，絕大多數(shù)競賽生絕對能體會(huì)到什么叫“江湖險(xiǎn)惡”。高聯(lián)二試只考四道大題，對應(yīng)的四個(gè)知識(shí)板塊分別是平面幾何、代數(shù)、數(shù)論和組合。且每道題都是壓軸中的壓軸。二試主要考察知識(shí)點(diǎn)模塊如下：

高聯(lián)二試·平幾 如果你是剛接觸數(shù)競的萌新，那么徐老師的建議是，大綱中的這些定理其實(shí)不用一個(gè)一個(gè)刻意去看，因?yàn)橥髮W(xué)習(xí)的過程中，你會(huì)很自然的接觸到這些內(nèi)容。相對來說，平面幾何大致的出題方向可以分為兩類問題。第一類是直線型問題，第二個(gè)是圓類型問題。當(dāng)然這兩個(gè)也不是完全割裂的，因?yàn)楹芏嘀本€型問題里面也會(huì)出現(xiàn)圓，同時(shí)有一些圓類型的問題也會(huì)用到很多直線型問題的處理方式。徐老師個(gè)人認(rèn)為學(xué)習(xí)幾何的過程中，應(yīng)著重注意兩點(diǎn)：首先第一點(diǎn)，你要知道這種基礎(chǔ)的圖形結(jié)構(gòu)，它的這些處理方式，這需要你熟知各種幾何定理。當(dāng)然了，也不只是定理，因?yàn)橛行〇|西它本身也不是定理;然后第二個(gè)，就是要善于去做圖形結(jié)構(gòu)的分析，就是說你看到一個(gè)圖的時(shí)候，你要知道，這個(gè)圖它是怎么畫出來的。在高聯(lián)二試中，有些涉及到平面幾何的題，它的圖乍看之下是很復(fù)雜的。但是再復(fù)雜的圖形，它也是由一個(gè)一個(gè)簡單的圖形疊加到一起復(fù)合形成的。因此，你要做的，就是從局部嘗試去拆解，把一幅復(fù)雜的圖形拆分成多個(gè)簡單的圖形。

　　高聯(lián)二試·代數(shù)

　　

在高聯(lián)中，代數(shù)部分的出題難度上下限很大，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)去年很難，但是今年又特別簡單的情況。一般來說，在高聯(lián)這個(gè)階段，代數(shù)的主要考點(diǎn)在于不等式和數(shù)列，這兩部分內(nèi)容涉及到的形式比較豐富，也容易和其它代數(shù)問題，甚至其它模塊知識(shí)相結(jié)合。

　　這里有兩點(diǎn)需要注意：第一，多項(xiàng)式理論雖然也被列入高聯(lián)代數(shù)的考綱范圍之內(nèi)，但它的難度較大，在高聯(lián)階段基本不會(huì)考，只有到了CMO才會(huì)出現(xiàn);第二，除了多項(xiàng)式理論外，其它內(nèi)容高中課內(nèi)都會(huì)學(xué)習(xí)，只不過高聯(lián)對這一部分的難度要求、熟練度要求都更高。

　　基本上，在高聯(lián)階段，你代數(shù)這塊，把不等式學(xué)好，大致就可以了。但如果你要準(zhǔn)備CMO的考試，則還要著重學(xué)一下復(fù)數(shù)、多項(xiàng)式、函數(shù)方程，如果你的目標(biāo)只到省一，然后走強(qiáng)基的話，那上面考綱這些內(nèi)容適當(dāng)了解一下就行。

　　高聯(lián)二試·數(shù)論

　　不少同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)論的時(shí)候，都表現(xiàn)得很畏懼。數(shù)論這個(gè)東西其實(shí)是這樣的，如果你剛接觸數(shù)論，你會(huì)覺得數(shù)論是一個(gè)很模糊的模塊，就是你會(huì)認(rèn)為數(shù)論和你之前學(xué)的一些知識(shí)，不管是工具還是學(xué)習(xí)方法，或是處理方法，都不太一樣。但如果你數(shù)論入坑久了，學(xué)的還比較順利的話，數(shù)論反而是一個(gè)做題使用率比較高的東西。而且數(shù)論是不太會(huì)出很難的題目，它如果出很難的題目，它也會(huì)和別的內(nèi)容做掛鉤，比如說和代數(shù)混在一起。數(shù)論更多的難點(diǎn)還是在于入手，多數(shù)人在前期學(xué)習(xí)數(shù)論的時(shí)候，都會(huì)有一種“不適應(yīng)”的感覺，就是我前面說的“很模糊”，這個(gè)是正常的。這是由于我們初中階段，很多學(xué)校在數(shù)學(xué)教學(xué)中以代數(shù)和幾何為主，教材里很少涉及數(shù)論內(nèi)容，老師也很少講，加之自己從前也幾乎沒怎么接觸過數(shù)論，所以你會(huì)覺得數(shù)論異常難學(xué)。不過當(dāng)你摸清數(shù)論的門檻之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)論其實(shí)并沒有想象的那么難，可能要比代數(shù)更容易學(xué)。

　　高聯(lián)二試·組合

　　組合問題，在高聯(lián)二試中往往是作為“壓軸題”出現(xiàn)的，非常具有難度。

　　

 

　　在高聯(lián)的階段，比較常見的組合問題可以歸納為兩個(gè)類：第一類叫組合計(jì)數(shù)問題，是基于課內(nèi)“排列組合”的部分知識(shí)，進(jìn)行拓展和擴(kuò)充;第二類叫組合雜題，包括組合最值問題、組合構(gòu)造問題、對策與操作等幾個(gè)主要類型。在高聯(lián)考試中，高聯(lián)一試會(huì)考較復(fù)雜的分類計(jì)數(shù)，高聯(lián)二試的考試一般以組合雜題為主，且難度很大，涉及范圍廣，形式靈活多變，對數(shù)學(xué)綜合分析的能力要求也更高。關(guān)于組合雜題，我們在學(xué)習(xí)的時(shí)候要做到了解基本的組合原理，并以此為基礎(chǔ)，拓展思考方法，積累常見的組合構(gòu)造?；A(chǔ)的組合原理有很多，并且理解起來也都不難，比如“抽屜原理”，國外叫“鴿籠原理”，類似這種概念的原理，理解起來是不難得，但真正的難點(diǎn)在于我們?nèi)绾螒?yīng)用，如何根據(jù)題目構(gòu)造出我們所需要的“抽屜”，也就是數(shù)學(xué)概念中的集合。這其實(shí)是組合學(xué)習(xí)、組合訓(xùn)練核心想要解決的問題。此外，組合問題的難點(diǎn)還在于“雜”，因?yàn)槌?ldquo;抽屜原理”外，組合問題的原理還有極端原理、容斥原理、算兩次、染色與賦值法等。也就要求我們在面對組合難題的時(shí)候，要找到該題的切入點(diǎn)。這種切入點(diǎn)很雜，難以概括，不同背景的組合問題，切入點(diǎn)可能差別很大。

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　　北京高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽培訓(xùn)輔導(dǎo)班

　　

 

　　【教授科目】

　　國際數(shù)學(xué)競賽:AIME;BMO(UKMT全級別競賽);Euclid;;FMMT、DMM、PUMaC、ARML、Awesome Math;ROSS,SuMaC。

　　國內(nèi)數(shù)學(xué)競賽:高聯(lián)/CMO/丘成桐/

　　【簡單介紹】

　　第31屆中國數(shù)學(xué)奧林匹克(CMO)金牌

　　2019年北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院夢想獎(jiǎng)學(xué)金

　　北京大學(xué)優(yōu)秀學(xué)生干部

　　高考數(shù)學(xué)獲得149

　　2020年9月至今,高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽課程授課經(jīng)驗(yàn)

　　【教學(xué)方法】帶領(lǐng)學(xué)生沖金

　　

 

　　國內(nèi)高聯(lián)課程

　　高聯(lián)目前只有1對1輔導(dǎo)，針對每個(gè)參加高中聯(lián)賽的學(xué)生制定個(gè)性化的學(xué)習(xí)方案。

　　高聯(lián)課程大綱